Question

已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AA₁的中點(diǎn)，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)已知結(jié)合長(zhǎng)方體錐的幾何特征和球的幾何特征，求出球的半徑，代入可得球的表面積．

解答： 解：∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
設(shè)AA₁=2a，E為AA₁的中點(diǎn)，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C₁（2，2，2a），O（1，1，a），
則

BD

=（-2，2，0），

BE

=（-2，0，a），

AO

=（1，1，a），
若OA⊥平面BDE，則

OA ⊥ BD OA ⊥ BE

，即

OA • BD =0 OA • BE =0

，
即a²-2=0，
解得a=

2

，
∴球O的半徑R滿足：2R=

22+22+(2 2 )2

=4，
故球O的表面積S=4πR²=16π，
故答案為：16π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，其中根據(jù)已知求出半徑是解答的關(guān)鍵．