Question

用數(shù)學歸納法證明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：利用數(shù)學歸納法來證明，當n=1時，命題成立，再假設當n=k時，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）²成立，證明當n=k+1時，命題也成立．

解答： 證明：①當n=1時，3n+1=4，而等式左邊起始為1×4的連續(xù)的正整數(shù)積的和，
故n=1時，等式左端=1×4=4，右端=4，成立；
②設當n=k時，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）²成立，
則當n=k+1時，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=k（k+1）²+（k+1）（3k+4）=（k+1）（k²+k+3k+4）=（k+1）（k+1+1）²，即n=k+1，成立
綜上所述，1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²．

點評：本題考查數(shù)學歸納法的運用，解題的關鍵正確運用數(shù)學歸納法的證題步驟，屬于中檔題．