定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù),f''(x)為f'(x)的導(dǎo)數(shù)即f(x)的二階導(dǎo)數(shù),若函數(shù)y=f(x) 在(a,b)內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)恒大于等于0,則稱函數(shù)y=f(x)是(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù)(有時亦稱為凹函數(shù)).已知函數(shù)f(x)=xlnx
(1)證明函數(shù)f(x)=xlnx是定義域內(nèi)的下凸函數(shù),并在所給直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=xlnx的圖象;
(2)對?x1,x2∈R+,根據(jù)所畫下凸函數(shù)f(x)=xlnx圖象特征指出x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2]與x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2]的大小關(guān)系;
(3)當(dāng)n為正整數(shù)時,定義函數(shù)N (n)表示n的最大奇因數(shù).如N (3)=3,N (10)=5,….記S(n)=N(1)+N(2)+…+N(2n),若,證明:(i,n∈N*).
【答案】分析:(1)函數(shù)f(x)=xlnx的定義域為(0,+∞),f'(x)=1+lnx,,由此能夠證明函數(shù)f(x)=xlnx是定義域(0,+∞)內(nèi)的下凸函數(shù),并作出其圖象.
(2)由下凸函數(shù)f(x)=xlnx的圖象特征可知:,故x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2].
(3)由S(n)=N(1)+N(2)+…+N(2n),知S(n)=4n-1+S(n-1),(n≥1),由此得到證明(i,n∈N*),即證.可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,也可用放縮法進(jìn)行證明.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=xlnx的定義域為(0,+∞),
f'(x)=1+lnx,,
故函數(shù)f(x)=xlnx是定義域(0,+∞)內(nèi)的下凸函數(shù),…(2分)
函數(shù)f(x)=xlnx在(0,]單調(diào)遞減,在[,+∞)單調(diào)遞增,
且f()=-,f(1)=0,f(e)=e,…(3分)
故其圖象如下圖所示.….(4分)
(2)由下凸函數(shù)f(x)=xlnx的圖象特征可知:,
故x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2]
≥x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2]
(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取=號)….(6分)
(3)∵S(n)=N(1)+N(2)+…+N(2n),
∴S(n)=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6]+…+N(2n)],
∴S(n)=4n-1+S(n-1),(n≥1),
∵S1=N(1),S(1)=2,…(7分)
…(8分)
,
故證明(i,n∈N*
即證…(9分)
(證法一)數(shù)學(xué)歸納法
。┊(dāng)n=1時,由(2)知命題成立.
ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k( k∈N*)時命題成立,
即若,
…(10分)
當(dāng)n=k+1時,x1,x2,…,滿足 
設(shè),
由(2)得
=
=
由假設(shè)可得 F(x)≥-ln2k-ln2=-ln2k+1,命題成立.
所以當(dāng) n=k+1時命題成立…(13分)
由。,ⅱ)可知,對一切正整數(shù)n∈N*,命題都成立,
所以 若,則 (i,n∈N*).
即有(i,n∈N*).   …(14分)
(證法二)若,
那么由(2)可得…(10分)
=…(11分)
=…(12分)
…(13分)
=-ln2n
即有(i,n∈N*).   …(14分)
點(diǎn)評:本題考查下凸函數(shù)的證明,函數(shù)圖象的畫法,不等式的比較和證明,綜合性強(qiáng),難度大,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=cosx+x+b(b為一常數(shù))則f(-
π3
)
=
 

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設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義,對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)fk(x)=
f(x),f(x)≤K
K,  f(x)>K
,取函數(shù)f(x)=3-|x|,當(dāng)k=
1
3
時,函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
(1,+∞)
(1,+∞)

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(1)證明函數(shù)f(x)=xlnx是定義域內(nèi)的下凸函數(shù),并在所給直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=xlnx的圖象;
(2)對?x1,x2∈R+,根據(jù)所畫下凸函數(shù)f(x)=xlnx圖象特征指出x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2]與x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2]的大小關(guān)系;
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2n
i=1
xi=1
,證明:
2n
i=1
xilnxi≥-ln2n
ln
1
3S(n)-2
(i,n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R+,若對于給定的正數(shù)k,定義函數(shù):fk(x)=
k,f(x)≤k
f(x),f(x)>k
,則當(dāng)函數(shù)f(x)=
1
x
,k=1
時,函數(shù)fk(x)的圖象與直線x=
1
4
,x=2,y=0圍成的圖形的面積為( 。

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