Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

1

x

且a＞0
（Ⅰ）若曲線f（x）在（1，f（1））處的切線與y=x平行，求實數(shù)a的值．
（Ⅱ）若x∈（0，2]，求函數(shù)f（x）的最小值．
（Ⅲ）設函數(shù)g(x)=

1

x

+lnx，若f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間（1，e²）上有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線f（x）在（1，f（1））處的切線與y=x平行，可求出此點處的導數(shù)，令導數(shù)為1即可解出實數(shù)a的值；
（Ⅱ）可利用導數(shù)研究函數(shù)在（0，2]的單調(diào)性，確定出函數(shù)f（x）的最小值，即可求出函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）設函數(shù)g(x)=

1

x

+lnx，f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間（1，e²）上有兩個不同的交點，即h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0）有兩個零點，故可利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，找出函數(shù)h（x）有兩個零點的條件，由此條件解出實數(shù)a的取值范圍；

解答：解（Ⅰ）f′(x)=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

（2分）
依題意f′（1）=a-1=1
故a=2（3分）
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

當x∈(0，

a

a

)時，f′（x）＜0，即f（x）在(0，

a

a

)上單調(diào)遞減
當x∈(

a

a

，+∞)時，f′（x）＞0，即f（x）在(

a

a

，+∞)上單調(diào)遞增 （4分）
（1）當

a

a

≥2，即0＜a≤

1

4

時，
可知f（x）在（0，2]是減函數(shù)，
故 x=2時 f（x）_min=2a+

1

2

（2）當0＜

a

a

＜2，即a＞

1

4

時，
可知f（x）在(0，

a

a

)遞減，在(

a

a

，2)遞增，故x=

a

a

時 f（x）_min=2

a

．
綜上所述，當0＜a≤

1

4

時，f（x）_min=2a+

1

2

；a＞

1

4

時，f（x）_min=2

a

．
（8分）
（Ⅲ）設h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0），
則 h′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

令h′（x）=0，得x=

1

a

由h′（x）＜0，得0＜x＜

1

a

，所以h（x）的減區(qū)間(0，

1

a

)；
由h′（x）＞0，得x＞

1

a

，所以h（x）的增區(qū)間(

1

a

，+∞)．
所以當x=

1

a

，h（x）取極小值h(

1

a

)且h(

1

a

)=1+lna．
f（x）與 g（x）的圖象在（1，e²）上
有兩個不同的交點等價于h（x）在（1，e²）上有兩個不同零點．
故只需

1＜ 1 a ＜e2 h( 1 a )＜0 h(1)＞0 h(e2)＞0

，解得

2

e2

＜a＜

1

e

故實數(shù)a的取值范圍是(

2

e2

，

1

e

)．（12分）

點評：本考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值、最值，考查了轉(zhuǎn)化的思想及判斷推理的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)最值的判斷方法，本題計算量大，易出錯，做題時要嚴謹