Question

函數(shù)y=f（x）的圖象連續(xù)且在區(qū)間[a，b]上的左右端點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)M（x₀，y₀）是該圖象上的一點(diǎn)，且x₀=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]，令向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，若|

MN

|有最大值k，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)f（x）=x²+1在區(qū)間[0，1]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，若A、B是f（x）=x²+1圖象上橫坐標(biāo)分別為a、b的兩點(diǎn)，則A（0，1），B（1，2），由兩點(diǎn)式求出AB的方程，代入|

MN

|=|x²+1-x-1|求其最大值得答案．

解答： 解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，|

MN

|有最大值k，則為|

MN

|的最大值，
函數(shù)f（x）=x²+1在區(qū)間[0，1]上“k階線性近似”，
由A、B是其圖象上橫坐標(biāo)分別為a、b的兩點(diǎn)，則A（0，1），B（1，2），
∴直線AB方程為y=x+1
∴|

MN

|=|x²+1-x-1|=|x²-x|∈[0，

1

4

]．
∴實(shí)數(shù)k=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評：題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)最值求解，解答的關(guān)鍵理解新概念，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是難題．