Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱AA₁垂直于底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=6，D為BC的中點．
（Ⅰ）若E為棱CC₁的中點，求證：DE⊥A₁C；
（Ⅱ）若E為棱CC₁上的任意一點，求證：三棱錐A₁-ADE的體積為定值，并求出此定值．γ

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC₁，BC₁，運用線面垂直的判定和性質(zhì)，即可得證；
（Ⅱ）三棱錐A₁-ADE的體積即為三棱錐D-A₁AE的體積．在三角形ABC中，取AC中點H，連接DH，證得DH⊥平面ACC₁A₁，再由棱錐的體積公式，即可得證．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC₁，BC₁，
則由D為BC的中點，E為棱CC₁的中點，則DE∥BC₁，
正方形ACC₁A₁中，AC₁⊥A₁C，
側(cè)棱AA₁垂直于底面ABC，則AA₁⊥AB，
又AB⊥AC，則有AB⊥平面ACC₁A₁，
則AB⊥A₁C，即有A₁C⊥平面ABC₁，
則A₁C⊥BC₁，由于DE∥BC₁，
則DE⊥A₁C；
（Ⅱ）三棱錐A₁-ADE的體積即為三棱錐D-A₁AE的體積．
在三角形ABC中，取AC中點H，連接DH，DH∥AB，
由于AB⊥平面ACC₁A₁，即有DH⊥平面ACC₁A₁，
則三棱錐D-A₁AE的體積

1

3

×DH×

1

2

AC•AA₁=

1

3

×3×

1

2

×6×6=18．
則三棱錐A₁-ADE的體積為定值，且為18．

點評：本題考查空間直線和平面垂直的性質(zhì)和判定定理及運用，考查三棱錐的體積和等積法的運用，考查運算和推理能力，屬于中檔題．