Question

直三棱柱的側(cè)棱長為2，一側(cè)棱到對面的距離不小于1，從此三棱柱中去掉以此側(cè)棱為直徑的球所占的部分，余下的幾何體的表面積與原三棱柱的表面積相等，則所剩幾何體的體積最小值為

2-

π

3

．

Answer 1

分析：設(shè)底面三邊長，

解答：解：如圖示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∠BAC=α，AA₁=2，設(shè)AB=a，AC=b
由于從此三棱柱中去掉以此側(cè)棱為直徑的球所占的部分，余下的幾何體的表面積與原三棱柱的表面積相等，
則

α

2π

×4π×(

2

2

)2=π×(

2

2

)2，所以α=

π

2

則所剩幾何體的體積為2ab-

α

2π

×

4π

3

×(

2

2

)3=2ab-

π

3

又由一側(cè)棱到對面的距離不小于1，則a≥1，b≥1
故所剩幾何體的體積最小值為2-

π

3

故答案為 2-

π

3

點(diǎn)評：此題考查了直三棱柱的體積與表面積公式的運(yùn)用