Question

直三棱柱的側棱長為2，一側棱到對面的距離不小于1，從此三棱柱中去掉以此側棱為直徑的球所占的部分，余下的幾何體的表面積與原三棱柱的表面積相等，則所剩幾何體的體積最小值為______．

Answer 1

如圖示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∠BAC=α，AA₁=2，設AB=a，AC=b
由于從此三棱柱中去掉以此側棱為直徑的球所占的部分，余下的幾何體的表面積與原三棱柱的表面積相等，
則

α

2π

×4π×(

2

2

)2=π×(

2

2

)2，所以α=

π

2

則所剩幾何體的體積為2ab-

α

2π

×

4π

3

×(

2

2

)3=2ab-

π

3

又由一側棱到對面的距離不小于1，則a≥1，b≥1
故所剩幾何體的體積最小值為2-

π

3

故答案為 2-

π

3