Question

如圖，在多面體ABCDE中，DB丄平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AE=1，BD=2．
（Ⅰ）在線段DC上存在一點(diǎn)F，使得EF丄面DBC，試確定F的位置，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先確定點(diǎn)的存在的位置，進(jìn)一步說(shuō)明理由，采用線面垂直的性質(zhì)和相關(guān)的判定，及相關(guān)的運(yùn)算知識(shí)．
（Ⅱ） 首先建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出平面的法向量，利用向量的數(shù)量積知識(shí)，求出二面角的平面角．

解答： 解：（Ⅰ）F在CD的中點(diǎn)位置．
證明：取CD的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)H，由于F、H點(diǎn)分別是CD和BC的中點(diǎn)，
所以：FH∥BD且 FH=

1

2

BD，
AE=FH，AE∥FH，
所以：四邊形AHFE為平行四邊形．
由DB丄平面ABC，
所以：BD⊥AH，AH⊥BC，
所以：AH⊥平面BCD，
由于EF∥AH，
所以：EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則：C（1，

3

，0），B（0，0，0），E（2，0，1），D（0，0，2），
所以：

BE

=(2，0，1)，

EC

=(-1，

3

，-1)，

DE

=(2，0，-1)，
設(shè)平面BCE的法向量為：

n1

=(x1，y1，z1)，
則：

n1 • BE =0 n1 • EC =0

解得：

n1

=(1，-

3

3

，-2)
同理設(shè)平面CDE的法向量為：

n2

=(x2，y2，z2)
則：

n2 • DE =0 n2 • EC =0

解得：

n2

=(1，

3

，2)
則：利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

6

4

所以：二面角D-EC-B的平面角的余弦值為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)定理，空間直角坐標(biāo)系，法向量的應(yīng)用，向量的數(shù)量積，二面角的應(yīng)用，屬于中等題型．