Question

當m為參數(shù)時，集合A={(x,y)∣x²+y²+x－6y+m=0}是以(－,3)為圓心的同心圓系，問m取何值時，直線x+2y－3=0與圓系中的某一個圓交于P,Q兩點，滿足條件OP⊥OQ(O為坐標原點).

Answer 1

m=3

解析:

設(shè)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),，則

由OP⊥OQ,得y₂=0

由消去y,得5x²+10x+4m－27=0    ①

∴x₁+x₂=－2, x₁x₂=      ②

而P,Q在直線x+2y－3=0上，則

y₁y₂=(3－x₁)(3－x₂)=[9－3(x₁+x₂)+x₁x₂]=     ③

將②,③代入x₁x₂+y₁y₂=0解得m=3，將其代入①檢驗，⊿>0成立，故m=3為所求。