Question

已知方程x²-3x+a+4=0有兩個整數(shù)根．
（1）求證：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)；
（2）求證：a是負(fù)偶數(shù)；
（3）當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號時，求a的值及這兩個根．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)兩根之和為奇數(shù)即可證明．
（2）根據(jù)△≥0以及兩根之積a+4為偶數(shù)，即可證明．
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩個根的值，然后求出a即可．

解答： 解：（1）證明：∵方程x²-3x+a+4=0有兩個整數(shù)根，設(shè)這兩個整數(shù)根為：x₁，x₂，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：x₁+x₂=3為奇數(shù)，
∵x₁，x₂都是整數(shù)，
∴根據(jù)兩個整數(shù)的和為奇數(shù)可知：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)根，一個是偶數(shù)根；
（2）由題意可得△=9-4（a+4）=9-16-4a≥0，解得：a≤-

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．
由這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，利用韋達(dá)定理可得兩根之積a+4為偶數(shù)，
故a是負(fù)偶數(shù)．
（3）當(dāng)方程的兩個整數(shù)根同號時，∵x₁+x₂=3為奇數(shù)，
∴x₁=1，x₂=2，∴x₁x₂=a+4=2，解得：a=-2，
∴方程兩個根為：x₁=1，x₂=2，a的值為-2．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運用韋達(dá)定理，屬于基礎(chǔ)題．