Question

【題目】若以曲線上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線，曲線上總存在異于的點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)作切線，且，則稱曲線具有“可平行性”，現(xiàn)有下列命題：

①函數(shù)的圖象具有“可平行性”；

②定義在的奇函數(shù)的圖象都具有“可平行性”；

③三次函數(shù)具有“可平行性”，且對(duì)應(yīng)的兩切點(diǎn)， 的橫坐標(biāo)滿足；

④要使得分段函數(shù)的圖象具有“可平行性”，當(dāng)且僅當(dāng).

其中的真命題個(gè)數(shù)有（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】由“可平行性”的定義,可得曲線y=f(x)具有“可平行性”,則方程y′=a(a是導(dǎo)數(shù)值)至少有兩個(gè)根。

①函數(shù)y=(x2)2+lnx,則y′=2(x2)+ = (x>0),方程,即2x2(4+a)x+1=0,當(dāng)時(shí)有兩個(gè)相等正根，不符合題意；

②定義在(∞,0)∪(0,+∞)的奇函數(shù),如y=x3, 則,方程,當(dāng)時(shí)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，不符合題意；

③三次函數(shù)f(x)=x3x2+ax+b,則f′(x)=3x22x+a,滿足題意時(shí)， 的一元二次方程的實(shí)數(shù)根，即，命題③正確；

④函數(shù)y=ex1(x<0),y′=ex∈(0,1)，

函數(shù)y=x+1x,y′=11x2=x21x2=11x2,由11x2∈(0,1),得1x2∈(0,1)，∴x>1，則m=1.

故要使得分段函數(shù)的圖象具有“可平行性”，

當(dāng)時(shí)， ，且導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， 的值域應(yīng)該是，

結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的平移性質(zhì)可得導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且， ，據(jù)此可得m=1.

真命題個(gè)數(shù)為2個(gè).

本題選擇B選項(xiàng).