Question

4．在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₄+a₇=9，a₃+a₆+a₉=21，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前9項(xiàng)和S₉；
（Ⅲ）若${c_n}={2^{{a_n}+3}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（III）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+a₄+a₇=9，a₃+a₆+a₉=21，
得$\left\{{\begin{array}{l}{3{a_1}+9d=9}\\{3{a_1}+15d=21}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+3d=3}\\{{a_1}+5d=7}\end{array}}\right.$，
解得a₁=-3，d=2，
∴a_n=2n-5．
（Ⅱ）S₉=9a₁+36d=9×（-3）+36×2=45．
（Ⅲ）由（Ⅰ）${c_n}={2^{{a_n}+3}}={2^{2（n-1）}}={4^{n-1}}$，
∴{c_n}是首項(xiàng)c₁=1，公比q=4的等比數(shù)列，
∴$T{\;}_n=\frac{{{c_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{{4^n}-1}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．