如圖,已知為平行四邊形,,,,點在上,,,與相交于.現(xiàn)將四邊形沿折起,使點在平面上的射影恰在直線上.
(1)求證:平面;
(2)求折后直線與平面所成角的余弦值.
(1)(2)
解析試題分析:(1)連接,欲證平面,只要證點是點在平面內(nèi)的射影,易證在平面圖中,
有此結(jié)論在折后的空間幾何體中仍成立平面平面平面點在平面內(nèi)的射影在直線上,結(jié)合已知條件,知點在平面上的射影又恰在直線上是點在平面內(nèi)的射影,從而結(jié)論得證.利用勾股定理求出相關(guān)線段的長度即可在直角三角形求出的值.
(2)連接,由(1)知,是在平面內(nèi)的射影,就是所求的線面角,
試題解析:(1)由得 平面
則平面 平面
平面
則在平面 上的射影在直線 上,
又在平面 上的射影在直線 上,
則在平面 上的射影即為點 ,
故平面
(2)連接 ,由 平面 ,得 即為直線 與平面所成的角,
在原圖中,由已知,可得
折后,由 平面,知
則 ,即
則在中,有,,則,
故
即折后直線與平面所成角的余弦值為
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如圖,,為圓柱的母線,是底面圓的直徑,,分別是,的中點,.
(1)證明:;
(2)證明:;
(3)假設(shè)這是個大容器,有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋,如果魚游到四棱錐 內(nèi)會有被捕的危險,求魚被捕的概率.
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如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點,F(xiàn)是DC上的點且DF=AB,PH為△PAD邊上的高.
(1)證明:PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,AD=,F(xiàn)C=1,求三棱錐E-BCF的體積;
(3)證明:EF⊥平面PAB.
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如圖,長方體中,,G是上的動點。
(l)求證:平面ADG;
(2)判斷與平面ADG的位置關(guān)系,并給出證明;
(3)若G是的中點,求二面角G-AD-C的大。
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如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.
(1)求證:AB∥EF;
(2)求證:平面BCF⊥平面CDEF.
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如圖,已知三棱錐P-ABC中,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D為AB中點,M為PB中點,且△PDB是正三角形,PA⊥PC。
.
(1)求證:DM∥平面PAC;
(2)求證:平面PAC⊥平面ABC;
(3)求三棱錐M-BCD的體積
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如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過A作AF⊥SB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.
求證:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
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