Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$，其中m＞0，若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f（x）=b，有三個不同的根，則m的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，1）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，依題意，可得4m-m²＜m（m＞0），解之即可．

解答 解：當m＞0時，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$的圖象如圖：
∵x＞m時，f（x）=x²-2mx+4m=（x-m）²+4m-m²＞4m-m²，
∴y要使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，
必須4m-m²＜m（m＞0），
即m²＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范圍是（3，+∞），
故選：D

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結合思想的運用是關鍵，分析得到4m-m²＜m是難點，屬于中檔題．