Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E．F．M分別是線段PD．PC．AB的中點．
（Ⅰ）求證：MF⊥PC；
（Ⅱ）求二面角E-AB-D的平面角．

Answer 1

分析：（I）由已知中PA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，可得PA⊥CD，AD⊥CD，由線面垂直的判定定理得CD⊥平面PAD，進而得CD⊥AE，再由PA=AD，E為PD的中點根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得AE⊥PD，由線面垂直的判定定理得AE⊥平面PCD，進而AE⊥PC，最終由MF∥AE得到MF⊥PC；
（Ⅱ）由（I）的結(jié)論，我們易得AB⊥平面PAD，即EA⊥AB且DA⊥AB，即∠EAD即為二面角E-AB-D的平面角，解三角形EAD即可得到答案．

解答：證明：（I）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD
又∵PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
又由AE?平面PAD
∴CD⊥AE
又∵PA=AD，E為PD的中點
∴AE⊥PD
又由PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
又∵PC?平面PCD
∴AE⊥PC
又∵MF∥AE
∴MF⊥PC
（II）由（I）中CD⊥平面PAD，又由AB∥CD
∴AB⊥平面PAD，
即EA⊥AB且DA⊥AB
∴∠EAD即為二面角E-AB-D的平面角
又∵PA=AD，E為PD的中點
∴∠EAD=

π

4

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)，二面角的平面角及求法，其中熟練根據(jù)正方形，等腰三角形中提取必要的線線垂直關系，是解答本題的關鍵．