Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-（a²-3）x+1（a＞0）至多有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)的零點與方程根的關系,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f（x）在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，等價于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離出參數(shù)a后化為求函數(shù)的最值即可，利用函數(shù)的單調性可求得最值；
（2）利用導數(shù)可求得函數(shù)的極大值、極小值，且極大值大于0，由題意可知只需極小值大于等于0．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是單調增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-2ax-3≥0即2a≤3x-

3

x

在[1，+∞）上恒成立，
而y=3x-

3

x

在[1，+∞）上單調遞增，
∴3x-

3

x

≥3-3=0，
∴a≤0；
（2）g（x）=f（x）-（a²-3）x+1=x³-ax²-a²x+1，
g′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），
當x＜-

a

3

或x＞a時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當-

a

3

＜x＜a時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
∴x=-

a

3

時g（x）取得極大值，x=a時g（x）取得極小值．
g（-

a

3

）=

5

27

a3+1＞0，g（a）=-a³+1，
∵g（x）=f（x）-（a²-3）x+1（a＞0）至多有兩個零點，
∴-a³+1≥0，解得0＜a≤1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值及函數(shù)的零點問題，考查轉化思想．