Question

如圖．P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=

5

PB=

10

PC=2

2

，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PB，PA上滿足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
（Ⅰ）求證：△ABC為銳角三角形； 
（Ⅱ）求多面體ECAB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）由題意作PD垂直AB于D，連結(jié)CD，由線面垂直的定義和判定定理證明AB⊥CD，得∠CAB與∠CBA都是銳角，同理∠ACB是銳角，即可證明△ABC為銳角三角形；
（Ⅱ）根據(jù)幾何體的特點(diǎn)利用割補(bǔ)法將多面體ECAB的體積表示出來，再由三棱錐的體積公式和條件求出多面體ECAB的體積．

解答： （Ⅰ）證明：過點(diǎn)P作PD垂直AB于D，連結(jié)CD，
∵PC⊥PA，PC⊥PB，PB∩PA=P，
∴PC⊥平面PAB，
∵AB?平面ABC，∴AB⊥PC，
又∵PD⊥AB，且PC∩PD=P
∴AB⊥平面PDC，
∵CD?平面ABC，∴AB⊥CD，
∴∠CAB與∠CBA都是銳角，
同理∠ACB是銳角，
∴△ABC為銳角三角形，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，PC⊥平面PAB，
∵PA⊥PB，且PA=

5

PB=

10

PC=2

2

，
∴△PAB的面積S_△PAB=

1

2

×PA×PB=

4 5

5

，PC=

2 5

5

，
∵PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
∴△PEF的面積S△PEF=

1

2

×PE×PF=

1

2

×

1

3

×PA×

2

5

×PB=

2

15

×

4 5

5

，
則V_C-BEFA=V_C-PAB-V_C-PEF=

1

3

×S△PAB×PC-

1

3

×S△PEF×PC
=

1

3

×

13

15

×

4 5

5

×

2 5

5

=

104

225

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的定義和判定定理的應(yīng)用，三棱錐的體積公式，以及割補(bǔ)法求不規(guī)則幾何體的體積．