Question

以知函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1，x∈R⁺），若x₁，x₂∈R⁺，判斷

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：把f（x）的解析式代入f（x₁）+f（x₂）中，進而根據x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2，根據對數函數的性質，當a＞1時判斷出

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≤f(

x1+x2

2

)，當0＜a＜1

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，綜合可得答案．

解答：解：f（x₁）+f（x₂）=log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）
∵x₁，x₂∈R⁺，
∴x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2（當且僅當x₁=x₂時取“=”號）．當a＞1時，有l(wèi)og_a（x₁x₂）≤log_a(

x1+x2

2

)2
∴

1

2

log_a（x₁x₂）≤log_a(

x1+x2

2

) ，

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≤log_a(

x1+x2

2

)，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≤f(

x1+x2

2

)（當且僅當x₁=x₂時取“=”號）當0＜a＜1時，有l(wèi)og_a（x₁x₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，
∴

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）≥log_a(

x1+x2

2

)2，
即

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f(

x1+x2

2

)
（當且僅當x₁=x₂時取“=”號）．

點評：本小題考查對數函數性質、平均值不等式等知識及推理論證的能力．