（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線(xiàn)l普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）①由已知得：
a2
1b
 
2
-1
=1•
2
-1
，可得
2a-2=2
2-b=-1
，求出a，b的值，可得A．
②由條件求出O、M、N變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），從而求得△O′M′N(xiāo)′的面積
（2）①把直線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
②求出圓心到直線(xiàn)的距離d，即可求得點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的取值范圍．
（3）解：①原不等式等價(jià)于
x≤1
-2x≥3
，或
-1＜x≤1
2≥3
，或
x＞1
2x≥3
，分別求出這三個(gè)不等式組的解集，再取并集
即得所求．
②依題意得：關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a2-a在R上恒成立，再由|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
可得 a2-a≤2，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）解：①由已知得：
a2
1b
 
2
-1
=1•
2
-1
，
∴
2a-2=2
2-b=-1
，解得
a=2
b=3
，故A=
22
13
．…（3分）
②∵AB=
22
13
 
1-1
01
=
20
12
，…（4分）
∴
20
12
 
0
0
=
0
0
，
20
12
 
2
-1
=
4
0
，
20
12
 
0
2
=
0
4
．…（6分）
即點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2）變成點(diǎn)O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），
∴△O′M′N(xiāo)′的面積為
1
2
×4×4=8．   …（7分）
（2）解：①直l的普通方程為：
3
x-y+3
3
=0．…（2分）
曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2-4x+3=0．…（4分）
②曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x-2）2+y2=1，圓心C（2，0），半徑為1．
∴圓心C到直線(xiàn)l的距離為：d=
|2
3
-0+3
3
|
2
=
5
3
2
．  …（6分）
所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的取值范圍是[
5
3
2
-1，
5
3
2
+1]．    …（7分）
（3）解：①原不等式等價(jià)于
x≤1
-2x≥3
，或
-1＜x≤1
2≥3
，或
x＞1
2x≥3
，…（1分）
解得 x≤-
3
2
，或 x∈∅，x≥
3
2
．
∴不等式的解集為{x|x≤-
3
2
，x≥
3
2
 }．…（4分）
②依題意得：關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a2-a在R上恒成立，
∵|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，…（5分）
∴a2-a≤2，解得-1≤a≤2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，2]．   …（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，特征向量的意義，矩陣運(yùn)算，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題設(shè)有（1）（2）（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿(mǎn)分14分．如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）已知矩陣M=
1a
b1
，N=
c2
0d
，且MN=
20
-20
，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直線(xiàn)y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換下的像的方程．
（2）在直角坐標(biāo)系xoy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為
x=3-
2
2
t
y=
5
-
2
2
t
（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線(xiàn)l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，
5
)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣A=
33
24
，向量β=
6
8
，
（Ⅰ）求矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A2α=β．
（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為（1，0）、(1，
π
2
)，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為
x=rcosα
y=rsinα
(α為參數(shù)，r＞0）
（Ⅰ）求直線(xiàn)AB的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)AB和曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)，求r的值．
（3）設(shè)不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知矩陣A將點(diǎn)（1，0）變換為（2，3），且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是
1
1
，（1）求矩陣A．（2）
β
=
4
0
，求A5
β
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•漳州模擬）本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿(mǎn)分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
．
（Ⅰ） 求矩陣A；
（Ⅱ） 矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為
x=t-3 
y=
3
t 
（t為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系xOy中的原點(diǎn)O為 極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ+3=0，
（Ⅰ） 求l的普通方程及C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） P為圓C上的點(diǎn)，求P到l距離的取值范圍．
（3）選修4-5：不等式選講
已知關(guān)于x的不等式：|x-1|+|x+2|≥a2+2|a|-5對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知矩陣A=
33
cd
，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為
α1
=
1
1
，屬于特征值1的一個(gè)特征向量
α2
=
3
-2
．
（Ⅰ）求矩陣A的逆矩陣；
（Ⅱ）計(jì)算A3
-1
4
的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案