Question

在△ABC中，若b²sin²C+c²sin²B=2bccosBcosC，則△ABC是（ ）
A．等邊三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

Answer 1

【答案】分析：利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinBsinC不為0，在等式兩邊同時除以sinBsinC，移項后再根據(jù)兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，可得出cos（B+C）=0，根據(jù)B和C都為三角形的內(nèi)角，可得兩角之和為直角，從而判斷出三角形ABC為直角三角形．
解答：解：根據(jù)正弦定理===2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知的等式得：（2RsinB）²sin²C+（2RsinC）²sin²B=8R²sinBsinCcosBcosC，
即sin²Bsin²C+sin²Csin²B=2sinBsinCcosBcosC，又sinBsinC≠0，
∴sinBsinC=cosBcosC，
∴cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=0，又B和C都為三角形的內(nèi)角，
∴B+C=90°，
則△ABC為直角三角形．
故選C
點評：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識有正弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理解決了邊角的關(guān)系，是本題的突破點，學(xué)生在化簡求值時特別注意角度的范圍．