Question

12．已知f（x）=ax³-3ax+4在[0，2]上的最大值比最小值大2，求a的值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a=0，a＞0，a＜0，求得[0，2]的單調(diào)區(qū)間，求得最小值和最大值，由題意可得a的方程，解方程即可得到a的值．

解答 解：f（x）=ax³-3ax+4的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²-3a=3a（x-1）（x+1），
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)，不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[0，1）遞減，在（1，2]遞增，
即有f（1）取得最小值，且為4-2a，
f（0）=4，f（2）=4+2a＞4，
即有f（2）為最大值，
由題意可得4+2a-（4-2a）=2，解得a=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[0，1）遞增，在（1，2]遞減，
即有f（1）取得最大值，且為4-2a，
f（0）=4，f（2）=4+2a＜4，
即有f（2）為最小值，
由題意可得4-2a-（4+2a）=2，解得a=-$\frac{1}{2}$．
綜上可得a=±$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．