Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=x³-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若a∈（0，1]時(shí)，f（a）=0，求a的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使得x∈（0，1]時(shí)，f（x）的最大值為1？

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性，求f（x）的解析式；
（2）根據(jù)當(dāng)x∈（0，1]時(shí)的函數(shù)解析式，解方程f（a）=0，即可求a的值；
（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）有最大值1成立的條件，即可求解a．

解答 解：（1）若x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=x³-ax
∴f（-x）=-x³+ax，
∵f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=-x³+ax=f（x），
即f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-ax，x∈[{-1，0}）\\-{x^3}+ax，x∈（{0，1}]\end{array}\right.$；    
（2）∵當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=-x³+ax，
∴若a∈（0，1]，則由f（a）=-a³+a²=0，
得a²（1-a）=0，解得a=1．
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=-x³+ax，
∴f'（x）=-3x²+a，
∵0＜x²≤1，∴-3≤-3x²＜0，
當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）在（0，1]上遞增，
∴f（x）的最大值為f（1）=a-1=1，
即a=2，不合題意．
當(dāng)0≤a≤3時(shí)，f'（x）=-3x²+a，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
列表如下：

x	（0，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）	$\sqrt{\frac{a}{3}}$	（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，1）
f'（x）	+	0	-
f（x）	遞增	最大值	遞減

∴f（x）在x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$處取得最大值-（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）${\;}^{3}+a•\sqrt{\frac{a}{3}}=1$，解得a=$\root{3}{\frac{27}{4}}＜3$．
當(dāng)a＜0，f'（x）=-3x²+a＜0，f（x）在（0，1]上遞減，故f（x）無最大值，不合題意．
綜上所述，存在實(shí)數(shù)$a=\root{3}{{\frac{27}{4}}}$，使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）有最大值1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用．