Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為（0，1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：過橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上一點(diǎn)Q（x₀，y₀）的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{n}^{2}}$=1；
（Ⅲ）過圓x²+y²=16上一點(diǎn)P向橢圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M，N兩點(diǎn)時(shí)，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論直線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，解得方程的一個(gè)跟，得到切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（x_P，y_P）為圓x²+y²=16上一點(diǎn)，求得切線PA，PB的方程，進(jìn)而得到切點(diǎn)弦方程，再由兩點(diǎn)的距離公式可得|MN|，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又a²-b²=c²，解得a=2，b=1，
即有橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅱ）證明：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，
可得n²x²+m²（kx+t）²=m²n²，化簡可得：
（n²+m²k²）x²+2m²ktx+m²（t²-n²）=0，①
由題可得：△=4m⁴k²t²-4m²（n²+m²k²）（t²-n²）=0
化簡可得：t²=m²k²+n²，①式只有一個(gè)根，記作x₀，
x₀=-$\frac{{m}^{2}kt}{{n}^{2}+{m}^{2}{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}k}{t}$，x₀為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
切點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₀=kx₀+t=$\frac{{n}^{2}}{t}$，
所以$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-$\frac{{m}^{2}k}{{n}^{2}}$，所以k=-$\frac{{n}^{2}{x}_{0}}{{m}^{2}{y}_{0}}$，
所以切線方程為：y-y₀=k（x-x₀）
=-$\frac{{n}^{2}{x}_{0}}{{m}^{2}{y}_{0}}$（x-x₀），
化簡得：$\frac{{x}_{0}x}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{n}^{2}}$=1． 
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為x=±m(xù)，也符合方程$\frac{{x}_{0}x}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{n}^{2}}$=1，
綜上$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上一點(diǎn)Q（x₀，y₀）的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{n}^{2}}$=1；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（x_P，y_P）為圓x²+y²=16上一點(diǎn)，
PA，PB是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的切線，
切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過點(diǎn)A的橢圓的切線為$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1，
過點(diǎn)B的橢圓的切線為$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y₂y=1．
由兩切線都過P點(diǎn)，$\frac{{x}_{1}{x}_{P}}{4}$+y₁y_P=1，$\frac{{x}_{2}{x}_{P}}{4}$+y₂y_P=1
即有切點(diǎn)弦AB所在直線方程為$\frac{x{x}_{P}}{4}$+yy_P=1．
M（0，$\frac{1}{{y}_{P}}$），N（$\frac{4}{{x}_{P}}$，0），
|MN|²=$\frac{16}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{16}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$）•$\frac{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}{16}$
=$\frac{1}{16}$（17+$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}$+$\frac{16{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}$）≥$\frac{1}{16}$（17+2$\sqrt{16}$）=$\frac{25}{16}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}$=$\frac{16{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}$即x_P²=$\frac{64}{5}$，y_P²=$\frac{16}{5}$時(shí)取等，
則|MN|$≥\frac{5}{4}$，即|MN|的最小值為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，考查化簡整理的運(yùn)算能力，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．