Question

14．在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸非負半軸為極軸極坐標，曲線C₁的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的方程：$ρ=\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．
（1）求曲線C₁和曲線C₂的直角坐標系方程；
（2）從C₂上任意一點P作曲線C₁的切線，設切點為Q，求切線長PQ的最小值及此時點P的極坐標．

Answer 1

分析 （I）利用sin²α+cos²α=1可把曲線曲線C₁的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為直角坐標方程．由曲線C₂的方程：$ρ=\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．展開化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=8$，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化為直角坐標方程．
（II）根據(jù)題意設曲線C₁的圓心為M，則|PQ|=$\sqrt{|PM{|}^{2}-1}$，當|PQ|最短時，|PM|最小，當PM⊥C₂時，|PM|最短，利用點到直線的距離公式距離可得|PM|，即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），可得$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}=1$．
由曲線C₂的方程：$ρ=\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．展開化為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=8$，化為x+y-8$\sqrt{2}$=0．
（II）根據(jù)題意設曲線C₁的圓心為M，則|PQ|=$\sqrt{|PM{|}^{2}-1}$，當|PQ|最短時，|PM|最小，
當PM⊥C₂時，|PM|最短，此時|PM|=$\frac{|\sqrt{2}+\sqrt{2}-8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=6，
此時PM的直線方程為y=x，可得P$（4\sqrt{2}，4\sqrt{2}）$．
化為極坐標P$（8，\frac{π}{4}）$，|PQ|的最小值=$\sqrt{{6}^{2}-1}$=$\sqrt{35}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．