Question

13．已知某幾何體的三視圖和直觀圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（Ⅰ）求證：B₁N⊥CN；
（Ⅱ）設(shè)M為AB中點(diǎn)，在棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使MP∥平面B₁CN？若存在，求$\frac{BP}{PC}$的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三視圖可知AN=4，BB₁=8．在直角梯形ANB₁B中，取BB₁的中點(diǎn)H，連結(jié)NH，證明B₁N⊥平面BCN，即可證明：B₁N⊥CN；
（Ⅱ）在直角梯形ANB₁B中，取BH中點(diǎn)Q，由題意得四邊形ANB₁H是平行四邊形，利用面面平行，確定線面平行即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：由三視圖可知AN=4，BB₁=8．
在直角梯形ANB₁B中，取BB₁的中點(diǎn)H，連結(jié)NH．
可得NH⊥BB₁，則ABHN是正方形．
所以BN=4$\sqrt{2}$，NH=BH=HB₁=4，NB₁=4$\sqrt{2}$．
可得$B{N}^{2}+N{{B}_{1}}^{2}$=$B{{B}_{1}}^{2}$，所以BN⊥NB₁．
因?yàn)锽N∩BC=B，所以B₁N⊥平面BCN，則B₁N⊥CN．
（Ⅱ）解：在直角梯形ANB₁B中，取BH中點(diǎn)Q，由題意得四邊形ANB₁H是平行四邊形．
所以AH∥B₁N∥MQ．
因?yàn)镹B₁?平面CNB₁，MQ?平面CNB₁，所以MQ∥平面CNB₁．
又因?yàn)镸P∥平面CNB₁，MP∩MQ=M，所以平面MPQ∥平面CNB₁．
且平面MPQ∩平面BCC₁B₁=PQ，平面CNB₁∩平面BCC₁B₁=CB₁，所以PQ∥CB₁．
所以$\frac{BP}{PC}$=$\frac{BQ}{Q{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三視圖，直線與平面的平行的判定和性質(zhì)，直線與平面的垂直的判定和性質(zhì)，屬于中檔題．