Question

如圖，直線l與拋物線y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸相交于點M，且y₁y₂=-1．
（1）求證：M點的坐標為（1，0）；
（2）求證：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出點M的坐標和直線l的方程，代入拋物線方程利用韋達定理求得x=-y₁y₂，進而求得x，則點M的坐標可得．
（2）利用y₁y₂=-1，求得x₁x₂+y₁y₂=0，進而判斷出OA⊥OB．
（3）利用（1）中的方程根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而求得|y₁-y₂|的表達式，進而利用|OM|代入三角形面積公式求得三角形AOB的面積表達式，利用m的范圍求得面積的最小值．
解答：解：（1）設M點的坐標為（x，0），直線l方程為x=my+x，
代入y²=x得y²-my-x=0①，
y₁，y₂是此方程的兩根，
∴x=-y₁y₂=1，即M點的坐標為（1，0）．
（2）∵y₁y₂=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0
∴OA⊥OB．
（3）由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x=1，
于是==≥1，
∴當m=0時，△AOB的面積取最小值1．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基礎知識綜合理解和應用，方程與函數(shù)思想的運用．