Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對于任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D使f（x₁）+f（x₂）=c（c為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)y=f（x）在D上“與常數(shù)c關(guān)聯(lián)”．現(xiàn)有函數(shù)：①y=2x；②y=2sinx；③y=log₂^x；④y=2^x，其中滿足在其定義域上“與常數(shù)4關(guān)聯(lián)”的所有函數(shù)是　　　

1. A.
   ①②
2. B.
   ③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①③

Answer 1

D
分析：對各個(gè)選項(xiàng)分別加以判斷：根據(jù)“與常數(shù)4關(guān)聯(lián)”的定義，列出方程可以解出x₂關(guān)于x₁表達(dá)式且情況唯一的選項(xiàng)是
①和③，而②④通過解方程發(fā)現(xiàn)不符合這個(gè)定義．從而得出正確答案．
解答：對于函數(shù)①y=2x定義域?yàn)槿我鈱?shí)數(shù)，取任意的x₁∈R，f（x₁）+f（x₂）=2x₁+2x₂=4，
解得x₂=2-x₁，可以得到唯一的x₂∈R．故“與常數(shù)4關(guān)聯(lián)”成立；
對于函數(shù)②y=2sinx，明顯不成立，因?yàn)閥=2sinx是R上的周期函數(shù)，
存在無窮個(gè)的x₂∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立．故不滿足條件；
對于函數(shù)③y=log₂x，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，
顯然必存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立．故“與常數(shù)4關(guān)聯(lián)“成立；
對于函數(shù)④y=2^x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對于x₁=3，f（x₁）=8．
要使 f（x₁）+f（x₂）=4成立，則f（x₂）=-4＜0，不成立，故不滿足條件；
所以滿足條件的選項(xiàng)應(yīng)該是①③
故選D
點(diǎn)評：本題著重考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．充分理解各基本初等函數(shù)的定義域和值域，是解決本題的關(guān)鍵．