Question

如圖1，，，過動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當(dāng)的長為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大�。�

 

Answer 1

（1）時(shí),三棱錐的體積最大．（2）當(dāng)時(shí)，．與平面所成角的大小．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，則．又，所以.由此易將三棱錐的體積表示為的函數(shù)，通過求函數(shù)的最值的方法可求得它的最大值.

（2）沿將△折起后，兩兩互相垂直，故可以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可找到點(diǎn)N的位置，并求得與平面所成角的大�。�

試題解析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．

由，知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

故當(dāng)，即時(shí),三棱錐的體積最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大．

（2）以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系．

由（1）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．

于是可得，，，，，，

且．

設(shè)，則.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111607015393215715/SYS201411160701577761859165_DA/SYS201411160701577761859165_DA.061.png">等價(jià)于，即

，故，.

所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由及，

得可取．

設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得

，即．

考點(diǎn)：1、棱錐的體積；2、空間直線與直線的垂直關(guān)系及直線與平面所成的角；3、空間向量.