Question

13．△ABC中，A=30°，AB=2$\sqrt{3}$，2≤BC≤2$\sqrt{3}$，則△ABC面積的范圍是$（0，\sqrt{3}]∪[2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a²=b²+$（2\sqrt{3}）^{2}-2×2\sqrt{3}b$cos30°．已知：2≤BC≤2$\sqrt{3}$，可得4≤a²≤12，利用4≤b²-6b+12≤12，解出b的取值范圍，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}bsin3{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，即可得出取值范圍．

解答 解：由余弦定理可得：a²=b²+$（2\sqrt{3}）^{2}-2×2\sqrt{3}b$cos30°=b²-6b+12，
∵2≤BC≤2$\sqrt{3}$，∴4≤a²≤12，
∴4≤b²-6b+12≤12，
解得：0＜b≤2或4≤b≤6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}bsin3{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$∈$（0，\sqrt{3}]∪[2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．
故答案為：$（0，\sqrt{3}]∪[2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了余弦定理、不等式的解法、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．