Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是$\frac{4}{5}$，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是$\frac{12}{13}$，求sin（α+β）的值；
（2）若$|\overrightarrow{AB}|=\frac{3}{2}$，求$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}|$的值．

Answer 1

分析 （1）由任意角的三角函數(shù)的定義和兩角和的正弦公式，計(jì)算即可得到所求；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）由三角函數(shù)的定義得，$sinα=\frac{4}{5}$，$sinβ=\frac{12}{13}$．
由角α、β的終邊分別在第一和第二象限，
所以$cosα=\frac{3}{5}$，$cosβ=-\frac{5}{13}$，
所以$sin（{α+β}）=sinαcosβ+cosαsinβ=\frac{16}{65}$；
（2）$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|$，
則有$|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|^2}={\overrightarrow{OB}^2}-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}^2}=2-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$，
又$|\overrightarrow{AB}|=\frac{3}{2}$，
故$2-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}=\frac{9}{4}$，
得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{8}$，
$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}{|^2}={\overrightarrow{OA}^2}+4\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+4{\overrightarrow{OB}^2}=5+4\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}=\frac{9}{2}$，
即$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}|$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)用，同時(shí)考查任意角三角函數(shù)的定義和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，屬于中檔題．