Question

已知四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，且PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是棱PD，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面AEF；
（Ⅱ）求直線PC與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：常規(guī)題型,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）根據(jù)線面垂直的定義與判定，證出EF⊥平面PAD，可得EF⊥PD．利用等腰直角三角形的性質(zhì)證出AE⊥PD，進(jìn)而利用線面垂直判定定理證出PD⊥平面AEF；
（II）由前面的證明可得∠PFE就是直線PC與平面AEF所成角，再利用解直角三角形與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系加以計(jì)算，可得直線PC與平面AEF所成角的正弦值．

解答： 解：（I）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA，結(jié)合CD⊥AD，AD∩PA=A，可得CD⊥平面PAD，
∵EF是△PCD的中位線，∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴EF⊥PD，
∵Rt△PAD中，PA=AD=2，E為PD中點(diǎn)，∴AE⊥PD，
又∵AE、EF是平面AEF內(nèi)的相交直線，∴PD⊥平面AEF；
（II）由（I）PD⊥平面AEF，可得∠PFE就是直線PC與平面AEF所成角，
∵Rt△PDC中，CD=2，PD=

PA2+AD2

=2

2

，
∴tan∠PCD=

PD

CD

=

2

∵EF∥CD，可得∠PFE=∠PCD，
∴tan∠PFE=

2

，可得sin

tan2∠PFE 1+tan2∠PFE

=

6

3

，即直線PC與平面AEF所成角的正弦等于

6

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的四棱錐，求證線面垂直并求直線與平面所成角的大�。�著重考查了線面垂直的定義、性質(zhì)與判定，考查了直線與平面所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．