Question

圓心C在直線l：x+2y=0，圓C過(guò)點(diǎn)A（2，-3），且截直線m：x-y-1=0所得弦長(zhǎng)為2

2

，求圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：設(shè)圓心的坐標(biāo)為M（-2b，b），求得圓心M到直線m：x-y-1=0的距離d=

|3b+1|

2

．再根據(jù)圓C過(guò)點(diǎn)A（2，-3），可得半徑r=

(2+2b)2+(-3-b)2

=

( |3b+1| 2 )2+( 2 )2

，求得b的值，可得圓的方程．

解答： 解：根據(jù)圓心C在直線l：x+2y=0上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為M（-2b，b），
則圓心M到直線m：x-y-1=0的距離，即弦心距d=

|-2b-b-1|

2

=

|3b+1|

2

．
根據(jù)圓C過(guò)點(diǎn)A（2，-3），可得半徑r=|MA|=

(2+2b)2+(-3-b)2

，
再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得r=

( |3b+1| 2 )2+( 2 )2

，∴

(2+2b)2+(-3-b)2

=

( |3b+1| 2 )2+( 2 )2

．
解得b=-1，或b=-21．
當(dāng)b=-1時(shí)，圓心的坐標(biāo)為（2，-1），半徑為2，圓的方程為 （x-2）²+（y+1）²=4．
當(dāng)b=-21時(shí)，圓心的坐標(biāo)為（42，-21），半徑為

1924

，圓的方程為（x-42）²+（y+21）²=1924．
綜上，所求的圓的方程為 （x-2）²+（y+1）²=4，或 （x-42）²+（y+21）²=1924．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．