Question

8．已知⊙C：（x-5）²+y²=9，直線1：y=x+b，
（1）當(dāng)⊙C與直線1相切時(shí)，求直線1的方程；
（2）當(dāng)直線1被⊙C截得的弦長(zhǎng)為4時(shí)，求直線1的方程；
（3）當(dāng)點(diǎn)P（a，b）在⊙C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求$\frac{a}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)⊙C與直線1相切時(shí)，圓心到直線的距離d=r，即可求直線1的方程；
（2）當(dāng)直線1被⊙C截得的弦長(zhǎng)為4時(shí)，圓心到直線的距離為$\sqrt{5}$，即可求直線1的方程；
（3）設(shè)$\frac{a}$=k，則a=kb，代入⊙C：（x-5）²+y²=9，整理可得（k²+1）b²-10kb+16=0，利用△=（10k）²-64（k²+1）=0，求$\frac{a}$的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)⊙C與直線1相切時(shí)，圓心到直線的距離d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{2}}$=3，
∴b=-5±3$\sqrt{2}$，
∴直線1的方程y=x-5±3$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)直線1被⊙C截得的弦長(zhǎng)為4時(shí)，圓心到直線的距離為$\sqrt{5}$，
∴$\frac{|5+b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴b=-5±$\sqrt{10}$，
∴直線1的方程y=x-5±3$\sqrt{10}$；
（3）設(shè)$\frac{a}$=k，則a=kb，代入⊙C：（x-5）²+y²=9，整理可得（k²+1）b²-10kb+16=0，
∴△=（10k）²-64（k²+1）=0，
∴k=±$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{a}$的最大值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．