Question

16．已知a＞0且a≠1，f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$
（1）判斷函數(shù)f（x）是否有零點(diǎn)，若有求出零點(diǎn)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=0進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由f（x）=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$=0得a^x=$\frac{1}{{a}^{x}}$，即（a^x）²=1，則a^x=1，解得x=0，
即函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，其中零點(diǎn)為0；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
則f（x）=a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$=a^x-a^-x，
則f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${a}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$+-${a}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$
=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$），
若a＞1，∵x₁＜x₂，
∴${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
若0＜a＜1，∵x₁＜x₂，
∴${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．
即a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求解，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．