Question

4．已知AB為⊙O的直徑，PH為切線，PE與⊙O交于C、E兩點(diǎn)，且與直徑AB交于點(diǎn)D，若PH=3$\sqrt{6}$，PC=3$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{2}$，DB=2．
（1）求圓O的面積；
（2）試求線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用切割線定理求出DC，根據(jù)相交弦的定理求出半徑，即可求圓O的面積；
（2）在△BDE中，根據(jù)余弦定理求線段BE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）PH為⊙O切線，PE為割線，可知PH²=PC•PE，
∴${（3\sqrt{6}）^2}=（3\sqrt{2}）•（3\sqrt{2}+DC+2\sqrt{2}）$，可知$DC=4\sqrt{2}$，
根據(jù)相交弦的定理可知：CD•DE=AD•DB，
設(shè)圓的半徑為R，可知$（2R-2）•2=4\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，
∴R=5，S=πR²=25π．
（2）設(shè)BE=x，連接AE，則△AEB為直角三角形，且$cos∠ABE=\frac{x}{10}$，
在△BDE中，根據(jù)余弦定理可得$cos∠DBE=\frac{{{2^2}+{x^2}-8}}{2•2•x}$，可知$\frac{{{2^2}+{x^2}-8}}{2•2•x}=\frac{x}{10}$
可知${x^2}=\frac{20}{3}，x=\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$，故$BE=\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理、相交弦定理，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．