Question

7．如圖所示的幾何體是由以正△ABC為底面的直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線OA∥平面DEF；
（Ⅱ）求直線FC與平面DEF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，GF，則可證四邊形OAFG是平行四邊形，于是OA∥FG，得出OA∥平面DEF；
（2）過C作CH⊥DE于H，連FH，則可證CH⊥平面DEF，于是∠CFH為所求角，利用勾股定理和等面積法求出CF，CH，即可得出sin∠CFH．

解答 （1）證明：取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，GF
∵OG為梯形CBDE的中位線，∴OG∥CE，且OG=$\frac{1}{2}（BD+CE）$=2，
又CE∥AF，且AF=2，∴OG$\stackrel{∥}{=}$AF，
∴四邊形OAFG為平行四邊形，∴GF∥OA，
又OA?平面DEF，GF?平面DEF，
∴OA∥平面DEF．
（2）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AO⊥平面BCED，又FG∥OA，
∴FG⊥平面BCED，又FG?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面BCDE．
在面BCED中，過C作CH⊥DE，連FH，則CH⊥平面DEF，
∴∠CFH為直線FC和平面DEF所成的角．
CF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{{2}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}CE•BC$=$\frac{1}{2}DE•CH$
∴CH=$\frac{CE•BC}{DE}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠CFH=$\frac{CH}{CF}=\frac{3}{4}$，
∴直線FC和面DEF所成角的正弦值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面角的作法與計(jì)算，屬于中檔題．