Question

【題目】如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且AF=3FC，

（1）求證：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC的中點(diǎn)H，

∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F為CH的中點(diǎn)．

而E為BC的中點(diǎn)，∴EF∥BH．∴EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．

∵AC平面ABC，∴DE⊥AC．

而DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（2）解：取AC中點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，EC為x軸，EG為y軸，ED為z軸，

建立空間直角系，設(shè)AB=BC=2，

則E（0，0，0），C（1，0，0），A（﹣1，2，0），F(xiàn)（ ， ，0），

B（﹣1，0，0），D（0，0， ），

=（ , ，0）， =（0，0， ），

設(shè)平面EFP的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

設(shè)平面ABD的法向量 =（a，b，c），

=（0，﹣2，0）， =（1，﹣2， ），

，取c=1，得 =（ ），

設(shè)平面DEF與平面ABD所成的銳二面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）取AC的中點(diǎn)H，推導(dǎo)出BH⊥AC，EF⊥AC，DE⊥BC，AB⊥DE，DE⊥AC．由此能證明AC⊥平面DEF．（2）取AC中點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，EC為x軸，EG為y軸，ED為z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．