Question

（2013•嘉定區(qū)二模）（理）已知三個(gè)互不相等的正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，公比為q．在a，b之間和b，c之間共插入n個(gè)數(shù)，使這n+3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）若a=1，在b，c之間插入一個(gè)數(shù)，求q的值；
（2）設(shè)a＜b＜c，n=4，問在a，b之間和b，c之間各插入幾個(gè)數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（3）若插入的n個(gè)數(shù)中，有s個(gè)位于a，b之間，t個(gè)位于b，c之間，試比較s與t的大�。�

Answer 1

分析：（1）若a=1，設(shè)由4個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，則

q=1+d q2=1+3d

，消去d，求得q的值．
（2）設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，由題意，d＞0，共插入4個(gè)數(shù)．若在a，b之間插入1個(gè)數(shù)，在b，c之間插入3個(gè)數(shù)，求得q的值；若在a，b之間插入3個(gè)數(shù)，在b，c之間插入1個(gè)數(shù)，求得q的值；若a，b之間和b，c之間各插入2個(gè)數(shù)，求得q的值，綜合可得結(jié)論．
（3）設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，由題意可得

q-1

s+1

=

q(q-1)

t+1

，因?yàn)閝≠1，所以

t+1

s+1

=q，分q＞1和 0＜q＜1兩種情況，分別得出結(jié)論．

解答：解：（1）若a=1，因?yàn)閍，b，c是互不相等的正數(shù)，所以q＞0且q≠1．
由已知，a，b，c是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，則b=q，c=q²，
當(dāng)插入的一個(gè)數(shù)位于b，c之間，設(shè)由4個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，則

q=1+d q2=1+3d

，消去d得2q²-3q+2=0，
因?yàn)閝≠1，所以q=2．
（2）設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，由題意，d＞0，共插入4個(gè)數(shù)．
若在a，b之間插入1個(gè)數(shù)，在b，c之間插入3個(gè)數(shù)，則

b=a+2d c=b+4d

，
于是

b-a

2

=

c-b

4

，2b-2a=c-b，q²-3q+2=0，解得q=2．
若在a，b之間插入3個(gè)數(shù)，在b，c之間插入1個(gè)數(shù)，則

b=a+4d c=b+2d

，
于是

b-a

4

=

c-b

2

，2c-2b=b-a，解得q=

1

2

（不合題意，舍去）．
若a，b之間和b，c之間各插入2個(gè)數(shù)，則

b=a+3d c=b+3d

，b-a=c-b，解得q=1（不合題意，舍去），
綜上，a，b之間插入1個(gè)數(shù)，在b，c之間插入3個(gè)數(shù)．
（3）設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，
由題意可得，b=a+（s+1）d，d=

b-a

s+1

，又c=b+（t+1）d，d=

c-b

t+1

，
所以，

b-a

s+1

=

c-b

t+1

，即

q-1

s+1

=

q(q-1)

t+1

，因?yàn)閝≠1，所以

t+1

s+1

=q．
所以，當(dāng)q＞1，即a＜b＜c時(shí)，s＜t；當(dāng)0＜q＜1，即a＞b＞c時(shí)，s＞t．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義、性質(zhì)以及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義、性質(zhì)以及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．