Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和為3，前6項(xiàng)和為24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求使不等式T_n＞k對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和為3，前6項(xiàng)和為24，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式得到兩個(gè)關(guān)于首項(xiàng)與公差的兩方程，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）把（1）求出的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中，化簡(jiǎn)得到數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)是2，公比是、為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和表示出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，由T_n+1-T_n大于0，得到T_n單調(diào)遞增，所以T_n的最小值為2，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式解集中k的最大正整數(shù)解即可．
解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由題意可知：
，解得：a₁=-1，d=2，
故a_n=-1+2（n-1）=2n-3；
（2）由（1）得：b_n===8•，
所以數(shù)列{b_n}是以b₁=2為首項(xiàng)，公比q=的等比數(shù)列，
則T_n==[1-]，
又T_n+1-T_n=[1-]-[1-]=2•＞0，
因此T_n單調(diào)遞增，
故T_n的最小值為T(mén)₁=b₁=2，由2＞k及k∈N⁺，得k_max=1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，掌握數(shù)列的函數(shù)特征，是一道綜合題．