Question

．（本題滿分14分）
已知圓M：定點，點為圓上的動點，點在上，點在上，且滿足。
(Ⅰ) 求點G的軌跡C的方程；
(Ⅱ) 過點（2,0）作直線l，與曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即｜OS｜＝｜AB｜）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1） ; （2）存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.   

本試題主要是考查了圓錐曲線的軌跡方程的求解，借助于向量的工具，來表示，同時能運用聯(lián)立方程組的思想表示出直線與圓錐曲線的交點問題的關系式，結合向量得到直線方程。
（1）根據(jù)局題中的向量的關系式，運用坐標法表示得到軌跡方程
（2）設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，然后結合題中的圖形的特點和向量的關系式，得到直線關系式，確定直線的存在與否。
解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN
GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|---------------------------------（3分）
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是 ---------（6分）
（2）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形，若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形……………（7分）
若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由
矛盾，……………（8分）
故l的斜率存在，設l的方程為
……………………（10分）
  ①………………………（11分）

  ② ………… ……………（12分）
把①、②代入∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等. ……… …………………… ……………（14分）