Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，離心率為$\frac{1}{2}$，M、N是平面內(nèi)兩點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，線段NF₁的中點(diǎn)P在橢圓上，△F₁MN周長為12
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，可得點(diǎn)F₂是線段F₁N的中點(diǎn)．又線段NF₁的中點(diǎn)P在橢圓上，可得線段PF₂是△F₁MN的中位線．由橢圓定義及其三角形中位線獨(dú)立及其△F₁MN周長為12，可得4a+4c=12，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-b²=-3．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²+16kx+4=0，△＞0，化為：k²＞$\frac{1}{4}$．利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-3+$\frac{25}{3+4{k}^{2}}$，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，∴點(diǎn)F₂是線段F₁N的中點(diǎn)，
又線段NF₁的中點(diǎn)P在橢圓上，∴線段PF₂是△F₁MN的中位線．
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，∴|NF₁|+|NM|=4a．
又△F₁MN周長為12，∴4a+4c=12，
化為：a+c=3，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-b²=-3．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
△=256k²-16（3+4k²）＞0，化為：k²＞$\frac{1}{4}$．
解得$k＞\frac{1}{2}$，或k$＜-\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）×$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$+4
=$\frac{16-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-3+$\frac{25}{3+4{k}^{2}}$，
∵$k＞\frac{1}{2}$，或k$＜-\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$∈$（-3，\frac{13}{4}）$．
綜上可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$∈$[-3，\frac{13}{4}）$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、三角形中位線定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、分類討論方法、函數(shù)與不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．