Question

已知直線y=

3

3

x與圓心在x軸正半軸，半徑為2的圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

．
（1）已知點(diǎn)P（-1，

7

），Q是圓C上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最大值；
（2）若過(guò)圓心任意作一條射線與圓C交于M點(diǎn)，求點(diǎn)M在劣弧

AB

上的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意，圓心到直線的距離為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，即可求圓C的方程；

解答： 解：（1）由題意，半徑為2的圓C交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

3

．
得到圓心到直線的距離為1，
設(shè)圓心為（a，0）（a＞0），則

| 3 a|

12

=1，
∴a=2，
∴圓C的方程為（x-2）²+y²=4；
點(diǎn)P（-1，

7

）在圓外，Q是圓C上任意一點(diǎn)，所以|PQ|的最大值為PC+r=

(-1-2)2+( 7 -0)2

+2=6；
（2）由（1）可得∠AOB=120°，所以過(guò)圓心任意作一條射線與圓C交于M點(diǎn)，點(diǎn)M在劣弧

AB

上的概率為

120°

360°

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、幾何概型的概率等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．