Question

統(tǒng)計部門在一次調(diào)查統(tǒng)計中得知，某行業(yè)在2010年末有員工30萬人，假定每年退休工為上一年員工數(shù)的a%，且每年新增員工m萬人（m為常數(shù)），記2010年末員工人數(shù)為b₁，以后各年末的員工人數(shù)分別為b₂，b₃，b₄…
（I）寫出b₂，b₃的表達(dá)式及b_n與b_n-1的關(guān)系式；
（II）若a=6，為提高就業(yè)率，且考慮到行業(yè)規(guī)模的制約，m在什么范圍內(nèi)取值時能夠保持員工人數(shù)逐年增加，且員工總數(shù)不超過60萬人．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)每年退休工為上一年員工數(shù)的a%，且每年新增員工m萬人，可求出b₂，b₃的表達(dá)式，觀察可得b_n與b_n-1的關(guān)系式；
（II）由（I）得b_n=0.94b_n-1+m則b_n-

m

0.06

=0.94（b_n-1-

m

0.06

）（n≥2，n∈N），從而{b_n-

m

0.06

}是以30-

m

0.06

為首項，0.94為公比的等比數(shù)列，求出b_n的通項公式，當(dāng)30-

m

0.06

＜0時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，可求m的最小值，然后根據(jù)b_n≤60恒成立，將m分離出來可求出m的最大值，從而求m的取值范圍．

解答：解：（I）依題意得：b₂=30（1-a%）+m
b₃=b₂（1-a%）+m=30（1-a%）²+m（1-a%）+m
∴b_n=b_n-1（1-a%）+m
（II）由（I）得b_n=0.94b_n-1+m
∴b_n-

m

0.06

=0.94（b_n-1-

m

0.06

）（n≥2，n∈N）
∴{b_n-

m

0.06

}是以30-

m

0.06

為首項，0.94為公比的等比數(shù)列，
所以b_n-

m

0.06

=（30-

m

0.06

）×0.94^n-1
即b_n=

m

0.06

+（30-

m

0.06

）×0.94^n-1（n∈N）
當(dāng)30-

m

0.06

＜0時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，即m＞1.8
又由b_n≤60得：

m

0.06

+（30-

m

0.06

）×0.94^n-1≤60
∴m≤

1.8(1-0.94n-1) +1.8

1-0.94n-1

=1.8+

1.8

1-0.94n-1

又1.8+

1.8

1-0.94n-1

＞3.6
∴m≤3.6
∴m∈（1.8，3.6]時能夠保持員工人數(shù)逐年增加且員工總數(shù)不超過60萬人．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及構(gòu)造新數(shù)列等方法和數(shù)列的應(yīng)用與等比關(guān)系的確定，同時考查了計算能力，屬于中檔題．