【題目】已知是圓：上任意一點，，線段的垂直平分線與半徑交于點，當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）記曲線與軸交于兩點，是直線上任意一點，直線，與曲線的另一個交點分別為，求證：直線過定點.

【答案】(1) ；(2)見解析

【解析】

（1）由已知，利用橢圓的定義計算即可；

（2）設點，直線的方程為:，與聯(lián)立得： ，設點 ，則， ；設點 同理得，；由即可得出結論.

（1）由線段的垂直平分線與半徑交于點，得，

所以點的軌跡為以焦點，長軸長為的橢圓， 故 ， ，

曲線的方程為

（2）由（1）得 ,設點的坐標為 ，直線的方程為: ，

將與聯(lián)立整理得： ，

設點的坐標為 ，則 ，故，則 ，

直線的方程為:，將與聯(lián)立整理得：，

設點的坐標為 ，則 ，故，則，

的斜率為

的斜率為

因為 ，所以直線經過定點.

練習冊系列答案
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【題目】某電視臺舉行文藝比賽，并通過網絡對比賽進行直播．比賽現(xiàn)場有5名專家評委給每位參賽選手評分，場外觀眾可以通過網絡給每位參賽選手評分．每位選手的最終得分由專家評分和觀眾評分確定．某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家評分情況如表；場外有數(shù)萬名觀眾參與評分，將評分按照[7，8），[8，9），[9，10]分組，繪成頻率分布直方圖如圖：

專家

A

B

C

D

E

評分

9.6

9.5

9.6

8.9

9.7

（1）求a的值，并用頻率估計概率，估計某場外觀眾評分不小于9的概率；

（2）從5名專家中隨機選取3人，X表示評分不小于9分的人數(shù)；從場外觀眾中隨機選取3人，用頻率估計概率，Y表示評分不小于9分的人數(shù)；試求E（X）與E（Y）的值；

（3）考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分：方案一：用所有專家與觀眾的評分的平均數(shù)作為該選手的最終得分，方案二：分別計算專家評分的平均數(shù)和觀眾評分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分．請直接寫出與的大小關系．

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【題目】已知橢圓的右頂點為，上頂點為，右焦點為.連接并延長與橢圓相交于點，且

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，直線分別與直線相交于點，點.若的面積是的面積的2倍，求直線的方程.

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【題目】已知空間幾何體中，與均為邊長為的等邊三角形，為腰長為的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）試在平面內作一條直線，使直線上任意一點與的連線均與平面平行，并給出詳細證明；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知拋物線的焦點為F，直線l過點．

（1）若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率；

（2）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值

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【題目】已知是圓：上任意一點，，線段的垂直平分線與半徑交于點，當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）記曲線與軸交于兩點，是直線上任意一點，直線，與曲線的另一個交點分別為，求證：直線過定點.

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【題目】已知點在雙曲線（，）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．

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（2）若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設（2）中直線與雙曲線交于兩個不同的點，若以線段為直徑的圓經過坐標原點，求實數(shù)的值．

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在時取得極值，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）當時，求零點的個數(shù).

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（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求點B到平面的距離.

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