Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+8cosθ-ρ=0，直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l過定點(diǎn)（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）由ρcos2θ+8cosθ-ρ=0，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，由此能求出曲線C的直線坐標(biāo)方程．
（2）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π），得直線l的直角坐標(biāo)方程是x+y=1．由此能求出直線l被曲線C截得的線段AB的長．

解答 解：（1）由ρcos2θ+8cosθ-ρ=0，
得ρ（1-2sin²θ）+8cosθ-ρ=0，
所以ρsin²θ=4cosθ，
所以ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的直線坐標(biāo)方程為y²=4x．
（2）因?yàn)橹本�l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π），
所以直線l在y軸上的截距為1，
又因?yàn)橹本�l過定點(diǎn)（1，0），
由直線方程的截距式，得直線l的直角坐標(biāo)方程是x+y=1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y，得x²-6x+1=0，
又點(diǎn)（1，0）是拋物線的焦點(diǎn)，
由拋物線的定義，得弦長|AB|=x_A+x_B+2=6+2=8．

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．