Question

18．一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N．
（1）請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需要說明理由）；
（2）求證：直線MN∥平面BDH；
（3）求二面角B-DH-C的平面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）作出該正方體，從而能得到字母F，G，H的位置．
（2）連結(jié)BD，設(shè)O為BD中點(diǎn)，推導(dǎo)出四邊形OMNH為平行四邊形，從而MN∥OH，由此能證明MN∥平面BDH．
（3）由HD⊥平面ABCD，得HD⊥DB，且HD⊥DC，從而∠BDC為二面角B-DH-C的平面角，由此能求出二面角B-DH-C的平面角．

解答 解：（1）由一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖
作出該正方體，得到字母F，G，H的位置如圖所示．
證明：（2）連結(jié)BD，設(shè)O為BD中點(diǎn)，∵BM=MC，BO=OD，
∴OM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，又HN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∴OM$\underset{∥}{=}$HN，
∴四邊形OMNH為平行四邊形，∴MN∥OH，
又∵M(jìn)N?平面BDH，OH?平面BDH，
∴MN∥平面BDH．
解：（3）∵HD⊥平面ABCD，∴HD⊥DB，且HD⊥DC，
∴∠BDC為二面角B-DH-C的平面角，
在等腰直角三角形BCD中，∠BDC=45°，
∴二面角B-DH-C的平面角為45°．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的平面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．