Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=55，a_n+1=a_n+2n-1，n∈N^*，則$\frac{a_n}{n}$的最小值為13．

Answer 1

分析 通過(guò)a_n+1=a_n+2n-1可知a_n+1-a_n=2n-1，利用累加法可知a_n-a₁=（n-1）²，進(jìn)而$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{56}{n}$-2，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=a_n+2n-1，
∴a_n+1-a_n=2n-1，
∴a_n-a_n-1=2n-3，
a_n-1-a_n-2=2n-5，
…
a₃-a₂=3，
a₂-a₁=1，
累加得：a_n-a₁=1+3+5+…+2n-3=$\frac{（n-1）（1+2n-3）}{2}$=（n-1）²，
又∵a₁=55，
∴a_n=55+（n-1）²=n²-2n+56，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{56}{n}$-2≥2$\sqrt{n•\frac{56}{n}}$-2，當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{56}{n}$即n=2$\sqrt{14}$時(shí)取等號(hào)，
∵6＜2$\sqrt{14}$＜8，∴n取7時(shí)$\frac{{a}_{n}}{n}$最小，
∴$\frac{{a}_{7}}{7}$=7+$\frac{56}{7}$-2=13，
故答案為：13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．