Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：f²（x）≤xg（x）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，解根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）作差，得到函數(shù)F（x）=ln²（x+1）-$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，通過討論F（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x＞-1，
h′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$，
令h′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，則h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減；
令h′（x）＞0，解得：x＞0，則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
故增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）；
（2）f²（x）-xg（x）=ln²（x+1）-$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，
令 F（x）=ln²（x+1）-$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，
F′（x）=$\frac{2（x+1）ln（x+1）-{（x}^{2}+2x）}{{（x+1）}^{2}}$，
令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x²+2x），
則G′（x）=2ln（x+1）-2x，
令H（x）=2ln（x+1）-2x，則H′（x）=$\frac{-2x}{x+1}$，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，H′（x）＞0，則H（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，H′（x）＜0，則H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故H（x）≤H（0）=0，即G′（x）≤0，則G（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減；   
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，G（x）＞G（0）=0，即F′（x）＞0，則F（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，G（x）＜G（0）=0即F′（x）＜0，則F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
故F（x）≤F（0）=0，即f²（x）≤xg（x）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道中檔題．