【題目】如果對一切正實數,,不等式恒成立,則實數的取值范圍是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
將不等式cos2x≥asinx恒成立轉化為asinx+1﹣sin2x恒成立,構造函數f(y),利用基本不等式可求得f(y)min=3,于是問題轉化為asinx﹣sin2x≤2恒成立.通過對sinx>0、sinx<0、sinx=0三類討論,可求得對應情況下的實數a的取值范圍,最后取其交集即可得到答案.
解:實數x、y,不等式cos2x≥asinx恒成立asinx+1﹣sin2x恒成立,
令f(y),
則asinx+1﹣sin2x≤f(y)min,
∵y>0,f(y)23(當且僅當y=6時取“=”),f(y)min=3;
所以,asinx+1﹣sin2x≤3,即asinx﹣sin2x≤2恒成立.
①若sinx>0,a≤sinx恒成立,令sinx=t,則0<t≤1,再令g(t)=t(0<t≤1),則a≤g(t)min.
由于g′(t)=10,
所以,g(t)=t在區(qū)間(0,1]上單調遞減,
因此,g(t)min=g(1)=3,
所以a≤3;
②若sinx<0,則a≥sinx恒成立,同理可得a≥﹣3;
③若sinx=0,0≤2恒成立,故a∈R;
綜合①②③,﹣3≤a≤3.
故選:D.
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【題目】已知正三棱錐P﹣ABC,點P,A,B,C都在半徑為的球面上,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為( )
A.B.C.D.
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【題目】每年的4月23日為“世界讀書日”,某調查機構對某校學生做了一個是否喜愛閱讀的抽樣調查.該調查機構從該校隨機抽查了100名不同性別的學生(其中男生45名),統(tǒng)計了每個學生一個月的閱讀時間,其閱讀時間(小時)的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求樣本學生一個月閱讀時間的中位數.
(2)已知樣本中閱讀時間低于的女生有30名,請根據題目信息完成下面的列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為閱讀與性別有關.
列聯表
男 | 女 | 總計 | |
總計 |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 |
其中:.
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【題目】已知直線為橢圓的右準線,直線與軸的交點記為,過右焦點的直線與橢圓交于,兩點.
(1)設點在直線上,且滿足,若直線與線段交于點,求證:點為線段的中點;
(2)設點的坐標為,直線與直線交于點,試問是否為定值,若是,求出這個定值,若不是,請說明理由.
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【題目】如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體,已知 AE⊥底面BCFE , DF ∥ AE , DF = AE = 1, CE =,四邊形ABCD 是正方形.
(1)《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.判斷四面體 EABC 是否為鱉臑,若是,寫出其 每一個面的直角,并證明;若不是,請說明理由.
(2)求四面體 EABC 的體積.
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【題目】根據中國生態(tài)環(huán)境部公布的2017年、2018年長江流域水質情況監(jiān)測數據,得到如下餅圖:
則下列說法錯誤的是( )
A.2018年的水質情況好于2017年的水質情況
B.2018年與2017年相比較,Ⅰ、Ⅱ類水質的占比明顯增加
C.2018年與2017年相比較,占比減小幅度最大的是Ⅳ類水質
D.2018年Ⅰ、Ⅱ類水質的占比超過
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